Квадрирање круга

ОдФЦ Флиинг, ан алхемија књига објављена 1618.
Део а
конвергентне серије на

Математика
Ицон матх.свг
1 + 1 = 11

Квадрирање круга је покушај конструкције, користећи исправљач и компас , квадрат са површином једнаком површини датог круга. Реч „покушај“ се користи горе јер је задатак урађен доказан немогуће. То је познато више од 100 година, али се сумњало много дуже.

Природно, таква мања препрека као што је немогућност није спречила људе да покушају да поставе круг у квадрат. Особа која покушава да квадрат постави у квадрат назива се мороном круг-квадрат , а појам, метафоричким проширењем, може се применити на било ког практичара сличних рекреативних могућности.

Па како то можете учинити?

Садржај

Зашто бисте желели да квадрат поставите у квадрат?

Квадрирање круга (у коначан број корака) је проблем који није решен од времена антике Грци . Дакле, произилази да ако то можете да решите, морате бити паметнији од било кога још од времена старих Грка. Такође, вероватно ћете добити широко признање за уклањање тако дуготрајног (и према томе, изузетно важног) проблема. Можда ћете освојити Фиелдс медал !

Озбиљније, квадратура круга захтевала би конструкцију дужине почетак {поравнање} (к-2) ^ 2 + (4к) ^ 2 & = 16 \ к ^ 2-4к + 4 + 16к ^ 2 & = 16 \ 17к ^ 2-4к + 4 & = 16  крај {поравнање }. (Круг са полупречником17к ^ 2-4к-12 = 0има површинук =  фрац {-б  пм  скрт {б ^ 2-4ац}} {2а}. Отуда квадрат са истом површином мора имати страницу почетак {поравнање} к & =  фрац {- (- 4)  пм  скрт {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ к & =  фрац { 7  пм8  скрт {13}} {34}  крај {поравнање}) Ако би овај број могао да се конструише, то би то и доказало бегин {алигн} & ф (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & ф (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  енд {алигн}је алгебарски број, што значи да постоји неки могући скуп рационалних бројева помоћу којих га можете израчунати.

Из различитих (у основи субјективних) разлога, сама помисао даАлцхемибио некако недоступан кроз 'нормалне' бројеве СТВАРНО изгледа да некима смета. Легенда каже да је Питагора убио особу која је то открилабила ирационална, па је мисао дасама по себи је била потпуно неприступачна преко целих бројева била би анатема. Један посебан приговор заснован је на одломцима у Библија , као што то верују (неки књижевници) у 1. Краљевима 7: 23-26мора бити рационалан и једнак 3.



Такође без икаквог доброг разлога, током 1700-их година појавило се уверење да ће квадрирање круга некако решити проблем „Географске дужине“ (немогућност морских пловила да утврде где су на оси исток-запад). Како су се нудиле неке огромне новчане награде (1714. године британска влада понудила је награду од 20.000 фунти), ово је покренуло сваког математичара аматера у Европи. Квадрирање квадрата је заправо небитно; све што је било потребно за решавање проблема са географском дужином била је способност посматрања сунца и заиста добар сат.

У математика светско питање постављено је у кревет 1882. године када је Фердинанд вон Линдеманн то доказаоније алгебарски (у техничком жаргону је „трансценденталан“). Јер дефинитивно не постоје рационални бројеви који могу израчунати, немогуће је конструисатиу евклидском простору.

Међутим, праве вернике неће одвратити ништа тако крхко као што је „доказ“. Они истрајавају јер верују да постоји идеолошка пристраност против квадрата чије храбре истраге прете удобном правоверју западне деконструкционистичке математике.

У ствари, једина идеолошка пристраност која је на снази је то што се стварни математичари не брину троше време са радилице .

Скица доказа

У конструкцији компаса и равнања слободно се може дефинисати дужина јединице из било ког пара задатих тачака. Поред тога, могу се узети у обзир само дате тачке и пресеци претходно изграђених кружница и правих, а праве и кружнице могу се градити само из претходно дефинисаних тачака.

Проналажење пресека праве / кружнице и друге праве / кружнице подразумева истовремено решавање система од две једначине од којих је свака квадратна или линеарна. Те линије и кругови заузврат зависе од тачака које их дефинишу, па се, с мало алгебре, може видети да је дефинисање тачке из неких задатих еквивалентно решавању квадратне једначине чији су коефицијенти или цели бројеви, или су резултат поновљених примена ове методе.

Рецимо, на пример, желели смо да одредимо тачке где линија са нагибом од четири пресеца круг са радијусом од четири који је центриран у тачки. Да бисмо пронашли тачке пресека, морали бисмо да поставимо систем једначина где је једначина дата круга права је дата једначином. Тада бисмо једначину за линију заменили у једначину за круг, проширили и поједноставили.



Да бисмо пронашли корене, ово преуређујемо на 0:

Имајте на уму да је ово заиста полином са једном променљивом са целим бројевима као коефицијентима, као што би се очекивало од конструкције компаса и равних ивица. С обзиром да се неће лако рачунати, можемо користити квадратну формулу:

За било који квадратни облик, применљива је следећа формула:



Ово је „квадратна формула“.

Користећи нашу једначинуследеће је тачно:

Што даје корене.

Да бисте пронашливредности супституишемо горње корене у једначину за линију:

Стога произилази да је линијапресеца кругуи.


У основној анализи, бројеви који задовољавају неку полиномску једначинугде су коефицијентису цели бројеви (тј. квадратна једначина горе) оно су што је познато као алгебарски бројеви. Штавише, они чине оно што је познато као алгебарски затворено поље, то јест, сви корени полинома са алгебарским коефицијентима сами су по себи алгебарски бројеви. Према томе, сви бројеви које је могуће конструисати помоћу компаса и исправљача морају бити алгебарски, што(а самим тим и његов квадратни корен) нису. Стога је изградња немогућа. У ствари, математичке константе е (2.71828 ...) и(3.14159 ...) припадају класи бројева познатих као трансцендентални бројеви, бројеви који нису корени нултог полинома са целобројним коефицијентима. Потпуни, формални доказ за то познат је као Линдеманн-Веиерстрассова теорема. За разлику од других области (нпр. Наука, право) концепт „доказа“ у математици је апсолутни, тј. Када се једном пружи ваљани доказ, апсолутно ништа не може да га оповргне у оквиру аксиоматске основе на којој се ради.

Варати

Можете то лако преварити, али можете ли то учинити компасом и равналом?

Уобичајени начин квадратног круга је варање. (Математичари ово зовуапроксимација.) Подсетимо се да је исказ проблема конструисати квадрат одисто подручјеимајукругКористећиисправљач и компас.Било који термин у курзиву треба сматрати само опционим.

На пример, с обзиром на круг, једноставно је конструисати квадрат који има површину једнаку 3,2 пута квадрат полупречника дате кружнице. Овај квадрат нема исту површину круга, али изгледаћеужасно близу.То би требало бити довољно добро за математичаре.

Или, уместо да започнемо кругом, могли бисмо започети полигоном са, рецимо, 96 страница. То је довољно близу круга - зар не, сви? Могуће је „полигон квадрат“ (као што су знали Грци), тако да је у основи могуће кружити квадрат. Можете и да покажете како да квадрирате многоугао са 96 страница, многоугао са 192 странице, многоугао са 384 странице итд. Према томе, прелазећи на границу, можемо квадрирати круг.

Варање на више начина истовремено

Следећи поступак укључује калкулатор. Није тачно, али се може усавршити до тачности алата које имате.

  • Прво израчунајте површину круга.
  • Затим узмите квадратни корен површине да бисте добили дужину ивице квадрата.
  • Ако имате добре алате за цртање, можете чак и нацртати квадрат сада када имате дужину ивице.

Варање са физичким помагалом

  • Направите точак исте величине као круг и који је упола шири од полупречника круга.
  • Покријте бочну страну влажном бојом и пустите да се тачно једном окреће на равној површини.
  • Ово оставља обојени правоугаоник са истом површином као и круг.
  • Завршите квадратом овог правоугаоника (овај корак се може урадити чак и са исправљачем и компасом).

Упозорење

Ако развијете жељу за разговором или расправом око квадрата, одмах потражите медицинску помоћ. Квадратници углавном нису заинтересовани за критику њихових идеја. Нису убеђени у „доказ“ - да јесу, не би започели проблем. Видите Кеитх Девлин о овоме за више.

Класична породица нерешивих проблема

Квадрирање круга , удвостручење коцке и трисектирање угла може се назвати тројством класичних нерешивих проблема у еуклидској геометрији. С обзиром да је доказано да су све три немогуће, не употребљавајући ништа осим лењира и компаса, наравно да је рукавцима ионако неодољиво да се квадрати, удвоструче и одсеку. Други проблем, физички овог пута, је измишљање а вечно кретање машина, што је подједнако немогуће. Време и труд потрошени на ово пркосе веровању, али ако се радије држе ових узалудних покушаја, могао би се изнијети аргумент да барем не чине штету док су ангажовани у тим подухватима.